accidentally by zero

Facendo ripetizioni ad un ragazzo del politecnico mi sono ritrovato a dover risolvere un esercizio relativo ai numeri complessi, cioé trovare il valore di \(\ln (-i)^8\) ; il tutto pare abbastanza straightforward (tenendo conto che \(z=a+ib=\rho e^{i\theta}\)).

$$ \eqalign{ \ln\left(-i\right)^8 &= 8\ln \left(-i\right)\cr &= 8\left(\ln 1 -i{\pi\over2} \right)\cr &= -4i \pi \cr } $$ il problema arriva se uno tenta di risolverlo direttamente calcolando il valore di \((-i)^8\)

$$ \eqalign{ \ln\left(-i\right)^8 &= \ln\left[(-i)^{2\cdot4}\right]\cr &= \ln\left[(-1)^4\right]\cr &= \ln 1 \cr &= 0 \cr } $$ Come è possibile avere due risultati differenti? semplicemente perché nell'analisi complessa le funzioni non si comportano "bene" come l'analisi matematica su \(R\) ma alcune di esse possono essere polidrome (cioé allo stesso dominio possono coincidere immagini attraverso la funzione diverse). Nel caso del logaritmo questo è abbastanza ovvio se consideriamo che un numero (in questo caso complesso scritto in notazione polare) rimane invariato se moltiplicato per 1

$$ z\cdot 1 = z\cdot e^{i2\pi}$$

ma non il suo logaritmo

$$\ln z = \ln z + i\,2\pi$$

Questo significa appunto che la funzione logaritmo è una funzione a molti valori la cui immagine risiede su una superficie di Riemann ad infiniti fogli, quindi i due risultati sono stati calcolati semplicemente su due fogli diversi. Quindi alla fine, entrambi i valori sono esatti, semplicemente calcolati su fogli diversi.